Feynman-Diagramme
und Feynman-Kalkül - Kombinationen innerer
Linien
Wenn
die inneren Linien virtuellen Teilchen entsprechen, kann man doch
beliebige innere Linienkombinationen aufstellen?
Gibt es dann nicht unendlich viele verschiedene Feynman-Diagramme zu einer Kombination
bekannter äußerer Linien?
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Die Antwort lautet grundsätzlich "Ja".
In der Praxis werden zuerst die
äußeren Linien gezeichnet. Dann beginnt man mit der kleinsten
Anzahl von Vertices, mit 2 Stück, und zeichnet alle möglichen
Kombinationen innerer Linien. Dann alle Kombinationen mit 4 Vertices, 6...
usw. Man erkennt, wie schnell dabei die Anzahl der Feynman-Diagramme ansteigt.
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Beispiel:
e--e--Bremsstrahlung
Die
Elektron-Elektron-Bremsstrahlung ist ein Beispiel für einen Prozess,
dessen Feynman-Diagramm eine ungerade Anzahl von Vertices besitzt. Ein
anfliegendes Elektron tauscht mit einem Elektron einer Atomhülle ein
Photon aus und strahlt danach noch ein einzelnes Photon ab. Die Abstrahlung
(Bremsstrahlung) des Photons führt zu einem dritten Vertex.
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Beispiel:
MÆller-Streuung
Die einfachste Möglichkeit für ein Diagramm der MÆller-Streuung
ist rechts unten abgebildet (2 Vertices). Die
drei rechten Diagramme (ohne Beschriftung; Pfeile sind Elektronen, Wellen Photonen) besitzen 4 Vertices und sind daher aufwendiger. Es sind
bei weitem nicht alle, die man sich nur aus Elektronen und Photonen zusammengesetzt
vorstellen kann.
Alle
haben aber die 4 äußeren Linien, also die beobachtbaren Elektronen,
gemeinsam.
Es scheint, als ob das Aufschreiben dieser Diagramme, wenn es unendlich viele davon gibt, keinen Sinn macht
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Dazu
muss man Folgendes wissen:
Alle
möglichen Feynman-Diagramme eines Wechselwirkungsprozesses tragen zur Gesamtreaktion bei.
ABER: Je mehr Vertices ein Feynman-Diagramm hat, desto (deutlich) kleiner wird
dieser Beitrag!
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Wie
berechnet man Beiträge einzelner Feynman-Diagramme?
Mit dem noch zu besprechenden Feynman-Kalkül.
Wichtig ist dabei, dass zu jedem Vertex ein Faktor  ,
die Wurzel
aus der sogenannten Kopplungskonstanten
a,
gehört.
Die
Kopplungskonstante der elektromagnetischen Wechselwirkung ist
a
= (e2/4pe0hc)
» 1/137.
Die Wurzel daraus ist bis auf einen konstanten Faktor gleich der elektrischen Ladung e. Aus diesem
Grund spricht man auch oft davon, dass zu jedem Vertex die entsprechende
Ladung e (oder allgemein: g) gehört. Der gesuchte Beitrag
ist proportional zum Produkt
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aller vorkommenden
(bzw. e oder g). Der Beitrag eines Diagramms "zweiter Ordnung", d.h. es besitzt
2 Vertices, ist also proportional zu e2
~ a,
eines vierter Ordnung (4 Vertices) ist proportional zu e4
~ a2
usw. Dabei
ist:
a
»
0,0073
a2
»
0,000053
a3
»
0,00000039
a4
»
0,0000000028
Man
erkennt, wie stark die Beiträge der Diagramme mit steigender Zahl
von Vertices, hier wurden nur die geradzahliger Ordnung angegeben, abnehmen,
so dass man je nach gewünschter Genauigkeit bereits bei wenigen Vertices
abbrechen kann.
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Das
Problem dabei ist allerdings, dass gleichzeitig die Anzahl der möglichen
Diagramme mit wachsendem n sehr stark ansteigt. Während der Beitrag
mit an
abnimmt, nimmt die Anzahl der möglichen und damit beitragliefernden
Diagramme mit n! (n! = 1 . 2 . 3 . ...
. n)
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zu. Da an
à 0 und n! à
¥ für n à
¥, kann nicht
einfach entschieden werden, dass die Beiträge von Diagrammen höherer
Ordnung vernachlässigbar wären. Es hat sich allerdings gezeigt,
dass die Beiträge von Diagrammen über 8. Ordnung klein sind.
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Eine
große Leistung des Physikers Kinoshita ist es, die Beiträge
von Diagrammen 8. Ordnung berechnet zu haben (1981). Ausgangssituation
war die Berechnung des anomalen magnetischen Moments a des Elektrons innerhalb
der QED. Experimentell war a (aexp)
bereits mit einer Genauigkeit von etwa 10-10
bestimmt. Die Darstellung von a in der QED (aQED)
erfolgt in einer Potenzreihe mit Potenzen von a/p
und
den Entwicklungskoeffizienten Ci:
aQED
= C1(a/p)
+ C2(a/p)2
+ C3(a/p)3
+ C4(a/p)4...
Die
Entwicklungskoeffizienten berücksichtigen die Beiträge der
Feynman-Diagramme 2. Ordnung (C1),
4. Ordnung (C2), 6.
Ordnung (C3) usw..
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Das Problem war, dass die Abweichung des QED-Werts vom experimentell bestimmten
Wert 7-mal so groß war wie die angegebenen Fehlergrenzen von aexp.
Da bisher nur die ersten drei Entwicklungskoeffizienten C1,
C2 und C3
berechnet waren, hoffte man durch die Berechnung von C4
die Abweichung verkleinern zu können und mit
dem neuen Wert für aQED
innerhalb der experimentellen Fehlergrenzen zu liegen. Zur Berechnung von
C4 mussten insgesamt
891 Feynman-Diagramme berechnet werden. Die Arbeit hat sich gelohnt,
denn die Korrektur C4(a/p)4
war wie erhofft in Übereinstimmung mit dem Experiment. (siehe dazu ![zum Literaturverzeichnis; [KIN 1981]](../button_gifs/booksm.gif) )
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Bisher
haben wir uns mit Feynman-Diagrammen auf die Quantenelektrodynamik
(QED), also nur auf elektromagnetische Wechselwirkungen beschränkt.
Auf der
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nächsten Seite werden wir sehen, wie Feynman-Diagramme in
der Quantenchromodynamik (QCD), also bei der starken Wechselwirkung
aussehen.
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