Wahrscheinlichkeitsinterpretation des Wirkungsquerschnitts

Streu-Experimente mit festem Target - Der Wirkungsquerschnitt und die Häufigkeit
einer Reaktion

Wir haben den Wirkungsquerschnitt (s) als die Fläche eingeführt, die ein Streuzentrum einem anfliegenden Teilchen bietet, so dass es beim Treffen des Teilchens in diese Fläche zu einer

Wechselwirkung (bzw. Reaktion) kommt. Man kann s auch anders interpretieren. Dazu ist ein längerer, aber einfacher Gedankengang nötig. Stellen wir uns folgende Situation vor:

Situation: Ein Teilchenstrahl des Querschnitts A und der Strahlteilchenrate DN_Strahl/Dt trifft auf ein dünnes Target (z.B. eine Goldfolie wie bei Rutherford ). Die bestrahlte Targetfläche ist natürlich gleich dem Strahlquerschnitt A. Hinter der bestrahlten Targetfläche A befinden sich N_Streu Streuzentren (z.B. die Kerne der Goldatome). Siehe Abb. rechts.

Wahrscheinlichkeit Wkt_Reak.: Wie kann man die Wahrscheinlichkeit ausdrücken, mit der eine Reaktion bzw. eine Wechselwirkung zwischen einem Strahlteilchen und einem Streuzentrum eintritt? Dazu nehmen wir noch einmal das Beispiel des aufgespannten Regenschirms auf einem Fußballfeld zu Hilfe. Nehmen wir an, die Flächen von Schirm und Feld verhalten sich wie
		1 : 2000, oder anders ausgedrückt, das Verhältnis von Schirmfläche (s) zur Fläche des Fussballfeldes beträgt 1/2000

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Regentropfen den Schirm treffen?

Klar, die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/2000 oder anders ausgedrückt: "Nur jeder 2000. Regentropfen würde den Schirm treffen". Die Trefferwahrscheinlichkeit ist also das Flächenverhältnis von Schirm und Fußballfeld. Überträgt man das Beispiel auf die Situation von Teilchenstrahl und Target, so ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit Wkt_Reak. gleich dem Verhältnis aus s und dem Anteil an der Targetfläche, der einem Streuzentrum "zusteht" (rechts dunkelblau markiert). Dieser Anteil ist A/N_Streu, (Targetfläche dividiert durch Anzahl der Streuzentren im Target). In der Abbildung rechts müsste man die Targetfläche durch 6 dividieren, da es 6 Streuzentren (angedeutet durch Schirme)
		gibt. s die "reaktionsfreudige" Fläche eines Streuzentrums. Wir erhalten dann für die Reaktionswahrscheinlichkeit Wkt_Reak: (1)

Anzahl der Reaktionen pro Zeit:

Wie kann man aus den bisher bekannten Größen die Zahl der Reaktionen pro Zeiteinheit (DN_Reak./Dt) bestimmen?

Beispiel:
Wir kennen die Strahlteilchenrate

DN_Strahl/Dt. Nehmen wir an, es wären 100 Teilchen pro Sekunde oder kurz 100/1s.
Wir kennen aber auch die Wahrscheinlichkeit für eine Reaktion Wkt_Reak. Nehmen wir an, Wkt_Reak betrüge 1/50, d.h. in 1 von 50 Fällen wechselwirkt im Mittel ein Teilchen mit einem Streuzentrum.

Wie viele Reaktionen pro Zeit kann man bei 100 Teilchen pro Sekunde und einer Reaktionswahrscheinlichkeit von 1/50 erwarten?

Wenn 1 von 50 Teilchen pro Sekunde wechselwirkt, sind es bei 100 Teilchen natürlich zwei pro Sekunde. Es sind also zwei Reaktionen pro Sekunde zu erwarten.

Rechnerische Lösung:
2/1s = (100/1s) ^.1/50
Allgemeine Lösung:

(2)

In Worten:
"Die Anzahl der Reaktionen pro Zeit ist gleich der Anzahl der Teilchen pro Zeit im Strahl, multipliziert mit der Reaktionswahrscheinlichkeit."

Gleiche Wahrscheinlichkeiten kann man eliminieren!
Wir können Wkt_Reak in Gleichung (2) durch Wkt_Reak aus (1) ersetzen. Wir erhalten dadurch eine Gleichung ohne die Größe Wkt_Reak.:

Wenn man nach s auflöst erhält man folgenden Ausdruck:

(N_Streu/A) ist die Flächendichte der Streuzentren des Targets (Anzahl der Teilchen pro Fläche).

Das Ergebnis in Worten:

Was kann man sich unter dieser Definition von s vorstellen?

Wir vergleichen dazu die Wirkungsquerschnitte zweier Experimente (Exp.1 mit s₁

und Exp.2 mit s₂), wobei s₁< s₂ sei. Man kann durch Benutzung der Definition von s folgende Ausagen machen:

Es ist wichtig, sich jede der folgenden Aussagen anhand der Formel für s, zu veranschaulichen!

Bei gleicher Strahlteilchenrate und Flächendichte, finden bei Exp.2 mehr Reaktionen pro Zeiteinheit statt, als bei Exp.1.

Ist bei gleicher Strahlteilchenrate auch die Zahl der Reaktionen pro Zeiteinheit bei Exp.1 und Exp.2. gleich, so muss die Flächendichte des Targets von Exp.2 kleiner gewesen sein.

Ist bei gleicher Flächendichte der Targets die Zahl der Reaktionen pro Zeiteinheit bei Exp.1 und Exp.2 gleich, so muss die Strahlteilchenrate von Exp.2 kleiner gewesen sein.

Die Einheit des Wirkungsquerschnitts ist eine Fläche!
Der Wirkungsquerschnitt ist ein Maß für

die Reaktionshäufigkeit eines Streuexperiments.