Grundlagen der QM - Die quantenmechanische Wellenfunktion Y(x, t) Bei der Beschreibung der Elektronenbeugung und -interferenz haben wir gesehen, dass Elektronen wellenähnliches Verhalten zeigen. Wir konnten einem Elektron eine Wellenlänge (de Broglie) zuordnen, die mit seinem Impuls verknüpft ist. Grundsätzlich gilt dies nicht nur für Elektronen, sondern für alle Teilchen des Mikrokosmos: Leptonen, Quarks, Protonen, Neutronen usw. Die Quantenmechanik (QM) löst die gegensätzlichen Vorstellungen "einerseits Teilchen, andererseits Welle" durch eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation ("Bornsche Deutung") auf. Mehr dazu auf den folgenden Seiten. Anmerkung: Der Begriff "Welle-Teilchen-Dualismus" wird nicht mehr verwendet, da der scheinbare Dualismus durch die Interpretation der QM aufgelöst wird. Vgl. oder An Stelle vom "klassischen Teilchen" spricht man in der QM vom "quantenmechanischen Zustand" eines Objekts, beschrieben durch eine komplexe Wellenfunktion.  Was bedeutet "Zustand"? Betrachten wir dazu eine Welle. Man kann für einen festen Ort oder Zeit die Wellenlänge oder die Elongation einer Welle angeben. Dies kann durch Messung geschehen oder einfacher durch Rechnung, wenn man den Funktions- term, der die Wellenausbreitung beschreibt, kennt. Beispiel: Betrachten wir eine ebene, monochromatische Welle; ihre Elongation A(x, t) zum Zeitpunkt t am Ort x lautet (klassische Beschreibung!): A(x, t) = A0 sin(kx - wt) Das ist eine sinusförmige Welle mit der Frequenz n = w/2p, der Wellenzahl k, k = 2p/l und der Amplitude A0. Am Ort x = 0 zum Zeitpunkt t = 0 hat sie die Elongation A(0, 0) = 0. Wir können also unter Benutzung des Funktionsterms Aussagen über die Elongation in beliebigen Orten zu beliebigen Zeiten machen. Wellenfunktionen werden meist mit Y (griech. Buchstabe, großes "Psi") bezeichnet.  Die Funktion, die in unserem Beispiel die Elongation der monochromatischen Welle beschreibt, ist eine - wenn auch idealisierte und reelle - Wellenfunktion. Man spricht allgemein von der Wellenfunktion oder der Amplitude Y. An Stelle von klassischen Teilchen, denen gleichzeitig ein bestimmter Ort und Impuls zugeordnet werden kann, spricht man in der Quantenmechanik nur von Zuständen von Quantenobjekten, die durch eine komplexe Wellen- funktion Y beschrieben werden (zeitabhängig in Ortsdarstellung: Y(x, t)). Die Kenntnis der Wellenfunktion ist elementar wichtig, da mit ihr Vorhersagen über Quantenobjekte gemacht werden können. In der Quantenmechanik wählt man zur Beschreibung von Wellen die komplexe Darstellung. Gegenüber der klassischen Wellenfunktion, die nur die Elongation angibt, hat dies den Vorteil, dass mit der komplexen Wellenfunktion Amplitude und Phasenlage zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort angegeben werden können. Die komplexe Wellenfunktion lautet: Y(x,t) = A0cos(kx-wt) + iA0sin(kx-wt) Mit der Eulerformel (eif = cosf + i.sinf) kann man die Wellenfunktion unseres Beispiels umformen zu: Y(x, t) = A0.ei(kx-wt) Dies ist die übliche Darstellung einer ebenen Welle. Mit den Beziehungen für Impuls p (k = 2pp/h) und Energie E (w = 2pE/h) kann man sie nochmals umformen: Y(x, t) = A0.e2pi(px-Et)/h Anschaulich dargestellt, beschreibt diese komplexe Funktion eine komplexe Zahl mit fester Amplitude A0 (in der komplexen Ebene entspricht dies dem Abstand vom Ursprung) und einem zeitabhängigen Polarwinkel (kx - wt). Diese Zahl wird also durch einen Punkt im Abstand A0 vom Ursprung repräsentiert, der mit der Winkelgeschwindigkeit w um den Ursprung rotiert. Man verwendet zur Veranschaulichung daher rotierende Zeiger, die vom Ursprung zur entsprechenden komplexen Zahl zeigen. Ihre Länge entspricht der Amplitude und ihre Zeigerstellung der sogenannten Phasenlage. Den Zusammenhang zwischen klassischer Wellengleichung, die die Elongation einer Welle beschreibt, und der komplexen Darstellung, die sowohl Amplitude als auch die zugehörige Phasenlage beschreibt, zeigt folgendes JAVA-Applet. Die obere der beiden Reihen einzelner Punkte längs der Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt die Veränderung der Elongation an jedem der Punkte. Die untere Reihe zeigt durch die rotierenden Zeiger sowohl Elongation als auch Phasenlage an. Wellenlänge und Frequenz lassen sich im Applet variieren. Man beachte, dass der Begriff Amplitude in der Quantenmechanik gegenüber der klassischen Physik eine erweiterte Bedeutung besitzt. Klassisch ist die Amplitude einer Schwingung die maximale Auslenkung (maximale Elongation). In der Quantenmechanik wird der Wert der Wellenfunktion an einem Ort zu einer bestimmten Zeit als Amplitude bezeichnet. Einen weiteren Einblick in die Darstellung von Wellenfunktionen mit Phasenzeigern gibt folgende Tour: