Die zeitunabhängige oder stationäre Schrödingergleichung

Grundlagen der QM - Die zeitunabhängige oder stationäre Schrödingergleichung

Die Welleneigenschaft von Teilchen, wie sie sich z.B. in Beugungsexperimenten von Elektronen an einem Spalt zeigt, führte zur Beschreibung der raum-zeitlichen (x, t) "Ausbreitung eines Teilchens" durch eine Wellenfunktion

Y(x, t). Die mathematische Darstellung und Berechnungen von Wellen wurden in der Wellenoptik, d.h. der Optik, die Licht als elektromagnetische Welle betrachtet, schon lange benutzt.

Kann man Überlegungen der Wellenoptik auf die Welleneigenschaften mikroskopischer Teilchen bzw. deren Wellenfunktion Y(x, t) übertragen?

Zur Klärung dieser Frage betrachten wir zuerst eine reelle Wellenfunktion der Wellenoptik in einer Momentaufnahme zum Zeitpunkt t = t₀einer ebenen Welle mit der Amplitude A(x, t):
A(x, t) = A₀ cos(2px/l - wt)
Für eine Momentaufnahme ist
t = t₀ = const., also auch
wt₀ = const. =: C.

Wir erhalten dann eine zeitunabhängige Wellenfunktion:
A(x) = A₀ cos(2px/l - C)
Wie man leicht nachrechnen kann, erhält man als 2. Ableitung von A(x) nach x:
d²A(x)/dx² = - (2p/l)² A₀ cos(2px/l - C) Man sieht, dass in der 2. Ableitung wieder die Ausgangsfunktion A(x) enthalten ist, so dass man schreiben kann:

d²A(x)/dx² + (2p/l)² A(x) = 0 oder kurz A'' + (2p/l)² A = 0

Wir haben eine zeitunabhängige Differenzialgleichung für die Amplitude erhalten.
Normalerweise sind Wellengleichungen allerdings zeitabhängig und enthalten neben der zweiten Ableitung nach dem Ort (d²/dx²) auch die zweite Ableitung nach der Zeit (d²/dt²). Wir werden im

Rahmen dieser Einführung aber nicht weiter darauf eingehen. Kann man diese Gleichung nun auf die Wellenfunktion eines mikroskopischen Teilchens übertragen?
Ja! Einzig die Wellenlänge muss hier durch die de Broglie-Wellenlänge
(l = h/p) ersetzt werden! Man erhält:

d²Y(x)/dx² + (2pp/h)² Y(x) = 0 oder kurz: Y'' + (2pp/h)² Y = 0

Dies ist die zeitunabhängige Schrödingergleichung, die Erwin Schrödinger (1887 - 1961; Abb. rechts oben) im Jahre 1926 aufgestellt hat. Die übliche Darstellung lautet:
d²Y(x)/dx² + (8mp²/h²)(E - V) Y(x) = 0

(Eigenwertgleichung

der Energie in Ortsdarstellung stationärer Zustände)

Dabei wurde p aus der Gleichung
(E - V) = p² /2m (= E_kin)
eingesetzt. E ist dabei die Gesamtenergie und V die potenzielle Energie des betrachteten Teilchens.

Das Entscheidende an dieser Gleichung ist, dass ihre Lösungen
Y (x) die Energie-Eigenzustände beschreiben!
Man hat also die Möglichkeit, nur aus Kenntnis von Randbedingungen (z.B. Potenzialverlauf, Normierung etc.) die Wellenfunktion Y(x), die einen Zustand beschreibt, zu berechnen.

Ein bekanntes Beispiel dazu ist das Wasserstoffatom, bei dem sich das Elektron im Bereich des anziehenden Coulomb-Potenzials des positiven Kerns (Proton) befindet. Die stationäre Schrödingergleichung lautet dazu wie oben dargestellt, lediglich bei der potenziellen Energie V muss - dem Problem entsprechend - das Coulomb-Potenzial U(r) verwendet werden.

Mit der Lösung der Schrödingergleichung lassen sich für das Elektron die Energiestufen und die Wellenfunktionen der einzelnen stationären Zustände berechnen. Man erhält genau die Bohrschen Energiestufen. Das bestätigt zwar Bohr, zeigt aber auch, dass die Schrödingergleichung ein weitaus besseres "Werkzeug" zur Berechnung solcher Energiestufen darstellt, als es alle anderen Ansätze vorher waren! Grundsätzlich kann die Schrödinger- gleichung auf alle Atome angewandt werden, Einschränkungen kommen erst dadurch zu Stande, dass die Gleichung für komplexere Probleme immer schwieriger zu lösen ist. Ihre Gültigkeit behält sie aber!
(siehe dazu auch )